傅里叶详解之傅里叶级数（傅里叶级数是什么）
cac55 2024-10-09 08:19 24 浏览 0 评论
傅里叶级数
傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
傅里叶级数公式如下：
其中
傅里叶级数公式推导
把周期函数表示成三角级数
周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，一般我们表示为:
傅里叶猜想任何一个周期函数都可以表示成下面的样子:
因为n是从1到无穷大，是一个无穷级数。
这里强调一下，傅里叶级数中对不同频率的波有一个要求就是给定一个初始的频率 w0,之后的角频率必须是 w0 的整数倍，这个也是离散傅里叶变化（DTF）角频率取值原则。
我们根据三角公式
可以将（5）式转化成如下形式
我们合并常数项，计作
得到
我们只需要计算出A0、an、bn的值就可以了。
我们由泰勒级数知道任意一个函数都可以用一个多项式来逼近
由麦克劳林可得
在每个等式中令x = 0,然后使用待定系数法就可以解出A,B,C…的值
则可以推导出
然后我们对（6）式进行积分，我们三角函数在一个周期内的积分是0，可以解出A0。
三角函数的正交性
由三角函数性质可以推导出
当k≠n的时候有
由上面的（6）式
对（6）式进行-π到π的积分，我们在此区间的可积性不做证明。
解得
我们下面来求an和bn
逐项积分
由三角函数正交性
解
同理得到
（6）式变为
将假设T = 2π带入得
目前我们也是需要区间内可积的问题，这里讲一点小故事，就是傅里叶一生致力于热学的研究，傅里叶级数和变化也最开始作用于热学问题的解决，论文发表后，一些学者标识方波无法达到可积条件，但是可以充分拟合，所以整体上还是没有问题的。
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