三次样条插值与hermite插值的比较
cac55 2024-10-12 02:29 27 浏览 0 评论
样条插值比较复杂，用得也最普遍，网上很多课件都没有完全说清楚，这里把本人认为说得比较清楚的一个课件转载如下:
样条插值产生的原因：
从这里看出，与hermite插值相比，样条插值要求二阶导数连续，而前者只要求一阶导数存在。二阶导数连续也就是曲率连续，表示这条曲线是光滑的。再看下面一个介绍：
这里S(x)的导数只有n-1个点，是因为第一个点没有左值（x0-0）,最后一个点没有右值
（xn+0）。
这里是假设S的二阶导数是一条曲线，然后利用拉格朗日插值法得出的表达式。
上图中最后一个表达式将相关数值代入后即得到所求的三次多项式。
注意上面的讨论，先是在区间[xi,xi+1]上讨论，然后在[xi-1,xi]区间是讨论，也就是一共三个点参加了讨论：xi-1,xi,xi+1。讨论的过程是通过一阶导数连续而进行的。
接下来通过边界条件补充缺失的两个条件：
这个三弯矩方程用到了三个点的二阶导数。通过上图可以求出来。
举例如下：
最后与hermite插值相对比：
由上述过程可以看出，hermite插值多项式的求解过程只用到了两个点的数值及它们的导数值，而样条插值则用到了三个点的二阶导数值。
下图是两者程序实现：
简单总结两者的区别：
1：样条插值要求二阶导数连续，而hermite插值只需要一阶导数存在。
2：样条插值用到三个点，而hermite是两个。
3：样条函数计算一次得出两个三次多项式，而hermite则是一个。
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