入门傅里叶变换(二)（傅里叶变换详解）
cac55 2024-10-09 08:20 31 浏览 0 评论
所有公式不推导，大家可以在网上或者教材中找到很多的推导过程。
这一节主要是傅里叶级数和积分的数学知识，我尽量用简单的语言描述它。在我开始讲述之前我有必要重申一句，傅里叶变换所做的是实际就是信号的合成与分解。
先来看看傅里叶变换的定义式，f(t)是周期函数，周期为(-T,T)，满足狄里克雷条件。
一.我们来看为什么傅里叶变换是长这个样子？
1.前面的a0/2实际是可以看做“直流成分”，后面的求和式可以看做是“交流部分”。
2.我们在高中学过辅助角公式
通过a,b的组合可以产生任意幅度的正弦波，如果我们还给了一个ω，那么就可以表示任意频率，任意幅度的正弦波。
所以这么拆开来看，傅里叶公式=直流+交流信号1+交流信号2+……
很简单对不对。
3.周期问题
这里我们有：
这告诉我们，频率为 w 的正弦波在时间 ( -T , T )内振动了 n 次。
3.什么叫狄里克雷条件？
（1 ）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；
（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；
（3）在一周期内，信号是绝对可积的
其实，你可以忽略这个条件，如果题目要你求傅里叶变换，肯定是满足条件的，而且这个条件只是存在傅里叶变换的充分不必要条件。
好了，现在我们的问题是如果知道了f(t)，该如何求出a0，an，bn呢？网上有许多推导的过程，这里略过，给出结果。
上面的将（-T , T）视为一个周期，如果你将周期写成（-T/2,T/2）就是下面的形式。
间断点这里我就不详细解释了，可以很简单的记住。
二.指数形式的傅里叶变换
有人将这里的t换成为另外的字母，以区分原函数中的t，并且表示Cn与t无关。另外要注意的是这里的n是从负无穷大到正无穷大，表现形式上更简单，这里没什么好讲的，自己推过一遍的话，会觉得不难的。
三.傅里叶积分
1.求和是离散的，当n取得越大时，求和式就越逼近真实值。
2.存在意义
对于周期函数，我们可以用离散傅里叶变换来求，但是对于非周期函数（即周期无穷大）的函数我们用傅里叶积分来求。
形式：为简单起见，我就直接截图了。。。
那么问题来了
这里为什么是对dw的积分，不是对dn的？
我们说n在离散时是表示第一条波，第二条波....，但是在连续情况下n，本身没有了意义，因为你无法指出第多少条波，但是它可以通过
来找到对应的w频率。
2.为什么这里存在两次积分。1/2 pi是怎么来的？
我给出一个手写的推导。字丑莫怪^O^
好了，关于傅里叶级数和积分说完了，剩下的变换问题， 以后再说。
下次我会讲一些模拟电路的问题，如果你对物理，数学，计算机这方面的知识感兴趣可以关注我哦(∩_∩)
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