傅里叶级数（变换）对于很多理工学科是非常重要的分析工具，比如电子学中，对电信

号的时域、频域的变换。但傅里叶级数的公式还是有点复杂的，以致很多人记不住。本文就

讲授一种有利于记忆的方法，以作科普。

向量

对于傅里叶级数，我从向量开始讲。有人可能会问，这两者似乎没什么太大的联系？别

急，且看我下面的讲述。

三维空间中的向量可以表示为：

上面黑体字的 ex、ey和 ez分别表示三维笛卡尔正交坐标系下 x、y和 z轴上的单位向量。只要学过高中数学，都知道向量的内积，也就是两个向量的点乘。向量的点乘有非常实际的

物理意义，比如水平面上有一个滑块在力 F 的作用下，平移了位移 r，如果力的方向和位移r 不共线，那么力 F 对滑块所做的功为

图 1 内积与做功这里对内积作了简单的展开。那对三维空间中的任意两个向量的点乘，可表示为

如果两个向量的内积为零，那么就说这两个向量是相互正交的，也就是相互垂直。那么

如果(2)式中的 b向量是 x轴上单位向量，那么有

类似的，可以分别得到 ay和 az。

接下来，把向量的维数推广到任意正整数 N，N可以大于 3乃至趋于无穷大。而 N维的笛卡尔正交坐标系的每一个单位向量表示为 e1,e2,e3,...eN，这样就把(1)式改写为

则任意两个向量的内积为

而如果向量 b 是 N维笛卡尔坐标系上第 j个单位向量，那么根据(3)式的结论，可以求出向量 a 在第 j个坐标上的分量。

因为有

其中δij称为克罗内克符号

也就是说如果整数 i=j，δij=1；如果 i≠j，δij=0.

粗略地讲，求积分就是求和的推广，因此可以把上述结论推广到函数，也就是说把函数看成是一个向量，并且这个向量的维数是无穷的。

函数

设有定义在实数轴区间[a,b]上的黎曼可积函数 f(x)，g(x)，a<b.则这两个函数在区间[a,b]上的内积定义为

那么怎么把(7)式与向量的内积联系起来？

在图 2中，将定义域[a,b]均匀等分为 N段，这样的分割称为黎曼分割。学过微积分的读者应该对上面这个图非常熟悉。函数 f(x)在定义域[a,b]上表示的曲线段，到 x轴[a,b]上的这一块不规则图形的面积可以近似为图中一块一块长方体面积的和，也就是

设想一下，将 g(x)这段曲线以 x轴为中心轴旋转 90度，并作出如图 3所示的不规则柱状体。

这个柱状体的体积可以近似地表示为

观察(9)式与(5)式，在形式上只相差一个Δx.当分割趋于无穷大时

此时Δx可以用微分元 dx表示，即

于是

这就是两个函数的内积的形象示意。

如果

则说函数 f(x)和 g(x)在定义域[a,b]上是相互正交的，表示为 f(x)⊥g(x).

那么，这个"函数的内积"与傅里叶级数或傅里叶变换有什么关系呢？

傅里叶级数（变换）

对于一个基本周期为 2π的周期函数，其复数形式的傅里叶级数展开为

系数的表达式为

其中 j是虚数单位，用 j表示虚数单位是电子学里的习惯，以与电流 i作区别。而 Fn是一个复数。

可以发现，把函数视作向量后，(11)式与(6)式是很相似的，(12)式与(10)式很相似。是何道理呢？

道理在于，既然把函数视作向量后，向量是可以用坐标表示的，这是(6)式的意义所在，而且这个坐标系最好是正交坐标系。那就要找出一个在定义域上的函数向量正交坐标系。

设定义域[a,b]上有一组函数向量正交基

这是一组无限维的向量基，这是与有限维空间坐标系的重要区别。则对于定义在[a,b]上的黎曼可积的实函数 f(x)可展开为

其中αi是一个实数。根据向量的运算关系，有

这样，(14)式中的系数可表示为

这时(14)式又和(11)式对应起来了，而(16)式又和(12)式对应起来了。当然，实函数与复函数的情况是有区别的。

在复数形式的傅里叶级数中

正是定义域[0,2π]上的一组复正交坐标系。有

上面(12)式与(16)式的区别在于，两个复函数求内积时，要对其中一个复函数求共轭。

当函数为非周期函数时，傅里叶级数就扩展为傅里叶变换和傅里叶反变换。傅里叶变换

中是将非周期信号看成是周期为无穷大的周期信号，因此替换(11)式中的 x为 2πt/T，对 T→∞求极限，而当 T→∞时，2π/T就变成了角频率的微分元。即

而 nΔω可以写成ω，即ω=nΔω，n=ω/Δω于是改写(11)式

显然，上面这个式子是不收敛的。为了确保其收敛，在左右两边同除以周期 T，也就是要关于周期求平均。

需要注意的是，此时因为周期 T是常数，所以Δω也是个常数，但ω是变数。所以可以改写(19式)为

现在开始对 T→∞求极限，求和变成积分

这就是非周期函数的傅里叶反变换。

到了这一步我们要求出系数方程。对于一个特定的ω0，对(21)式两边求积分。

对(22)式关于 T→∞求极限，并结合前面关于正交基的讨论，有

进而

又因为ω0是任意的，所以有傅里叶变换

总结与补充

透过现象看本质。一个通常的（只说常见的函数，此文不作展开）可积函数是无限维函

数向量空间上的一个向量。既然是向量就要符合向量的运算法则，而傅里叶级数展开与傅里

叶变换正是要寻找此向量空间中的一组正交坐标基，这组坐标基的每一个坐标分量也是一个

函数——正弦函数或复指数函数。在使用傅里叶级数展开和傅里叶变换时，需要注意以下几

点：

①如果向量所在的空间是刚性的，即一个向量在空间中作平移、旋转等运动时，向量不

会被伸缩和扭曲。则向量的内积与坐标系无关。在(2)式中，是两个正交坐标系下的向量的内积，而(10)式中的函数向量内积是在仿射坐标系下的内积，这个内积与正交坐标系下求得的内积应该是相等的。也就是说对(11)式的函数作内积

②当函数是定义域为实数的复函数时，求函数内积的时候要对其中一个函数取共轭，如

(24)式；

③在(24)式右侧既然是一个无穷级数，就要考虑收敛性。也就是说 n→±∞时，Fn→0。

而如果(23)式成立，要满足

如果 f(t)代表的物理量是电压或电流，则意味着在一段足够长的时间里，能量也是有限的，

否则不能用傅里叶变换。

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